Collocatiemethoden

Deze applet illustreert het idee waarop collocatiemethoden gebaseerd zijn. Een collocatiemethode bestaat erin een functie, meestal een veelterm, en een verzameling van collocatiepunten te kiezen en op te leggen dat de functie in die collocatiepunten de onbekende functie zo goed mogelijk numeriek benadert. Bij het oplossen van een differentiaalvergelijking van de vorm y' = f(x,y) met y(a) = η kunnen we de numerieke oplossing laten evolueren van xn naar xn+1 door een veelterm te kiezen van graad s met coëfficiënten in Rm en een verzameling van verschillende collocatiepunten xn + cih (i = 1, 2, ..., s), waarbij we eisen dat P(xn) = yn en P'(xn + cih) = f(xn + cih, P(xn + cih)) (i = 1, 2, ..., s). We beëindigen de numerieke stap van xn naar xn+1 door yn+1 = P(xn + h) te stellen. We kunnen aantonen dat dit proces identiek is aan het proces gevolgd door een s-traps impliciete Runge-Kutta methode. We illustreren dit idee voor de volgende eenvoudige differentiaalvergelijkingen:

  1. y' = 1/x
  2. y' = -xy
  3. y' = c(y - 1)
  4. y' = c(y - cos(x))

DownloadTheorie

.: Start Applet :.

Screenshots

Screenshot Screenshot Screenshot

Legende

  1. De differentiaalvergelijking waarvan men een benadering voor de oplossing wenst te zoeken.
  2. De waarde van de parameter c die men enkel moet ingeven voor de laatste twee vergelijkingen.
  3. De lengte van de stap.
  4. De beginwaarde x = xn.
  5. De beginvoorwaarde voor y: y(xn) = yn.
  6. De methode (Gauss, RadauI, RadauIIA, LobattoIIIA) die men verkiest te gebruiken. Druk op 'OK' wanneer de methode is ingegeven.
  7. Het is ook mogelijk zelf de c-waarden in te geven (kies hiervoor 'Default'). Druk dan op 'Bereken' om de overige elementen van de Butcher-matrix te laten invullen. Druk vervolgens op 'OK'.
  8. Met behulp van '-' en '+' kan men het aantal trappen verlagen of verhogen. Merk op dat dit slechts mogelijk is als men een voorgedefinieerde methode heeft gekozen.
  9. Druk op 'Klaar' als alle gegevens zijn ingevoerd.
  10. Met deze checkbox duidt men aan of men de oplossingscurven en raaklijnen aan deze curven door de collocatiepunten wenst te zien.
  11. De grafiek van de exacte oplossing is de curve in het blauw.
  12. De grafiek van de interpolatieveelterm is de curve in het groen.
  13. De rode bolletjes zijn de collocatiepunten.
  14. Het groene bolletje is een punt van de benaderende oplossing berekend met de ingegeven methode en gegevens. De y-waarde van dat punt lees je af op de Y-as.